Tangentialraum/R/Faser/Kurvenrealisierung/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}v\in T_{P}Z=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}$. Nach dem Satz über implizite Abbildungen gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert. Es sei ${}Q\in V$ der Punkt mit ${}\psi (Q)=P$. Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{P}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,,$

also

${}\operatorname {bild} \left(D\psi \right)_{Q}=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}=T_{P}Y\,.$

Wegen der Regularität von ${}\psi$ in ${}Q$ ist

$\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

injektiv und

$\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-m}\longrightarrow T_{P}Y$

bijektiv. Es sei ${}u\in \mathbb {R} ^{n-m}$ das Urbild von ${}v$ und sei

$\theta \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m},\,t\longmapsto Q+tu,$

wobei ${}\epsilon$ hinreichend klein gewählt sei, dass das Bild ganz in ${}V$ liegt. Dann besitzt

$\gamma =\psi \circ \theta \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

die Eigenschaft

${}\gamma (0)=\psi (\theta (0))=\psi (Q)=P\,$

und

${}\gamma '(0)=\left(D\psi \right)_{Q}(\theta '(0))=\left(D\psi \right)_{Q}(u)=v\,.$

Zur gelösten Aufgabe