Teilbarkeitstheorie/Hauptidealbereich/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich, $a_{i} \in R, i \in I$ , eine Familie von Elementen und $𝔞 = ⋂_{i \in I} (a_{i})$ der Schnitt der davon erzeugten Hauptideale. Ein Element $a \in R$ ist genau dann ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von $a_{i}, i \in I$ , wenn $(a) = 𝔞$ , wenn $a$ also $𝔞$ als Hauptideal erzeugt.