Teilbarkeitstheorie/Hauptidealbereich/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Element $x \in 𝔞$ ist ein Vielfaches aller $a_{i}, i \in I$ , also nach Definition ein gemeinsames Vielfaches und jedes gemeinsame Vielfache liegt in $𝔞$ . Ein erzeugendes Element des Ideals $𝔞$ ist Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen und daher nach Definition ein kleinstes gemeinsames Vielfaches und jedes kleinste gemeinsame Vielfache erzeugt $𝔞$ .