Teilbarkeitstheorie/Hauptidealbereich/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Element ${}x\in {\mathfrak {a}}$ ist ein Vielfaches aller ${}a_{i},i\in I$, also nach Definition ein gemeinsames Vielfaches und jedes gemeinsame Vielfache liegt in ${}{\mathfrak {a}}$. Ein erzeugendes Element des Ideals ${}{\mathfrak {a}}$ ist Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen und daher nach Definition ein kleinstes gemeinsames Vielfaches und jedes kleinste gemeinsame Vielfache erzeugt ${}{\mathfrak {a}}$.

Zur bewiesenen Aussage