Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis

Beweis

1. Zunächst ist natürlich das Produkt $ab$ ein gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$. Es sei also $f$ irgendein gemeinsames Vielfaches, also $f=ua$ und $f=vb$. Nach Fakt gibt es im teilerfremden Fall Zahlen  $r,s\in \mathbb{Z}$  mit  $ra+sb=1$.  Daher ist

   $f=f\cdot 1=f(ra+sb)=fra+fsb=vbra+uasb=(vr+us)ab$

   ein Vielfaches von $ab$.

2. Die Existenz von $c$ und $d$ ist klar. Hätten $c$ und $d$ einen gemeinsamen Teiler  $e\ne 1,-1$,  so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass $e\cdot \mathrm{ggT}(a,b)$ ein größerer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ wäre.
3. Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von $ga$ und $gb$. Es sei $n$ ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von $ga$ und $gb$. Dann kann man $n=uga$ und $n=vgb$ schreiben. Damit ist  $uga=vgb$  und somit ist  $k:=ua=vb$  (bei $g\ne 0$; bei $g=0$ ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$. Also ist  $n=gk$  ein Vielfaches der rechten Seite.
4. Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile

   $\begin{array}{cc}\mathrm{ggT}(a,b)\cdot \mathrm{kgV}(a,b)& =\mathrm{ggT}(a,b)\cdot \mathrm{kgV}(c\cdot (\mathrm{ggT}(a,b)),d\cdot (\mathrm{ggT}(a,b)))\\ & =\mathrm{ggT}(a,b)\cdot \mathrm{ggT}(a,b)\cdot \mathrm{kgV}(c,d)\\ & =\mathrm{ggT}(a,b)\cdot \mathrm{ggT}(a,b)\cdot cd\\ & =c\cdot \mathrm{ggT}(a,b)\cdot d\cdot \mathrm{ggT}(a,b)\\ & =ab.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage