Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Zunächst ist natürlich das Produkt ein gemeinsames Vielfaches von und . Sei also irgendein gemeinsames Vielfaches, also und . Nach Fakt gibt es im teilerfremden Fall Zahlen mit . Daher ist

    ein Vielfaches von .

  2. Die Existenz von und ist klar. Hätten und einen gemeinsamen Teiler , so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass ein größerer gemeinsamer Teiler wäre.
  3. Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von und . Sei ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von und . Dann kann man und schreiben. Damit ist und somit ist (bei ; bei ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von und . Also ist ein Vielfaches der rechten Seite.
  4. Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile
Zur bewiesenen Aussage