Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis

Beweis

1. Zunächst ist natürlich das Produkt ${}ab$ ein gemeinsames Vielfaches von ${}a$ und ${}b$. Es sei also ${}f$ irgendein gemeinsames Vielfaches, also ${}f=ua$ und ${}f=vb$. Nach Fakt gibt es im teilerfremden Fall Zahlen ${}r,s\in \mathbb {Z}$ mit ${}ra+sb=1$. Daher ist

   ${}f=f\cdot 1=f(ra+sb)=fra+fsb=vbra+uasb=(vr+us)ab\,$

   ein Vielfaches von ${}ab$.

2. Die Existenz von ${}c$ und ${}d$ ist klar. Hätten ${}c$ und ${}d$ einen gemeinsamen Teiler ${}e\neq 1,-1$, so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass ${}e\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)$ ein größerer gemeinsamer Teiler von ${}a$ und ${}b$ wäre.
3. Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von ${}ga$ und ${}gb$. Es sei ${}n$ ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von ${}ga$ und ${}gb$. Dann kann man ${}n=uga$ und ${}n=vgb$ schreiben. Damit ist ${}uga=vgb$ und somit ist ${}k:=ua=vb$ (bei ${}g\neq 0$; bei ${}g=0$ ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von ${}a$ und ${}b$. Also ist ${}n=gk$ ein Vielfaches der rechten Seite.
4. Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile

   ${}{\begin{aligned}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(c\cdot (\operatorname {ggT} \,(a,b)),d\cdot (\operatorname {ggT} \,(a,b)))\\&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(c,d)\\&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot cd\\&=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\\&=ab.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage