Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Aus ${}H=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort ${}a_{i}\mathbb {Z} \subseteq t\mathbb {Z}$ für jedes ${}i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist ${}a_{i}\in t\mathbb {Z}$ und da ${}H=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ die kleinste Untergruppe ist, die alle ${}a_{i}$ enthält, muss ${}H\subseteq t\mathbb {Z}$ gelten.

Aufgrund von Fakt wissen wir, dass es eine ganze Zahl ${}g$ gibt mit ${}H=\mathbb {Z} d$. Für einen anderen gemeinsamen Teiler ${}t$ der ${}a_{i}$ gilt ${}\mathbb {Z} d=H\subseteq \mathbb {Z} t$, so dass ${}d$ von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.

Zur bewiesenen Aussage