Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Aus  ${}H=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$  folgt sofort  ${}a_{i}\mathbb {Z} \subseteq t\mathbb {Z}$  für jedes  ${}i=1,\ldots ,k$,  was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist  ${}a_{i}\in t\mathbb {Z}$  und da  ${}H=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  die kleinste Untergruppe ist, die alle ${}a_{i}$ enthält, muss  ${}H\subseteq t\mathbb {Z}$  gelten.

Aufgrund von Fakt wissen wir, dass es eine ganze Zahl ${}g$ gibt mit  ${}H=\mathbb {Z} d$.  Für einen anderen gemeinsamen Teiler ${}t$ der ${}a_{i}$ gilt  ${}\mathbb {Z} d=H\subseteq \mathbb {Z} t$,  sodass ${}d$ von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.

Zur bewiesenen Aussage