Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Implikation folgt aus Fakt.
Sei umgekehrt die Eigenschaft erfüllt. Wir geben eine auf definierte Funktion an, die differenzierbar ist und deren Gradientenfeld gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt fixiert. Für jeden Punkt gibt es einen stetig differenzierbaren Weg

mit und . Wir setzen

Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt und in jede Richtung differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit übereinstimmt. Dazu betrachten wir

wobei der verbindende lineare Weg von nach sei (und hinreichend klein sei, so dass ist). Für den Differentialquotienten ist

Somit existiert die Richtungsableitung von in Richtung und hängt stetig von ab. Diese Gleichung zeigt ferner

so dass das Gradientenfeld zu ist.

Zur bewiesenen Aussage