Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Motivation/Beispiel

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Sei ein Körper. Wir betrachten zu zwei endlichen Indexmengen und die Abbildungsräume und , die beide -Vektorräume sind. In welcher Beziehung stehen sie zur Abbildungsmenge

Zu Abbildungen und kann man einfach eine Abbildung auf erhalten, die man nennt (sprich tensor ) und die durch

festgelegt ist. Für die Standardvektoren gilt dabei

Jedes Element kann man insbesondere als eine Linearkombination zu Elementen schreiben, aber nicht jedes hat diese einfache Gestalt. Es gilt

und entsprechend in der zweiten Komponente.