Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Motivation/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten zu zwei endlichen Indexmengen ${}I$ und ${}J$ die Abbildungsräume ${}\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ und ${}\operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$, die beide endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume sind. In welcher Beziehung stehen sie zur Abbildungsmenge

$\operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)}?$

Zu Abbildungen ${}f\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ und ${}g\in \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$ kann man einfach eine Abbildung auf ${}I\times J$ erhalten, die man ${}f\otimes g$ nennt (sprich ${}f$ tensor ${}g$) und die durch

${}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$

festgelegt ist. Für die Standardvektoren gilt dabei

${}e_{i}\otimes e_{j}=e_{(i,j)}\,.$

Jedes Element ${}h\in \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)}$ kann man insbesondere als eine Linearkombination zu Elementen ${}f\otimes g$ schreiben, aber nicht jedes ${}h$ hat diese einfache Gestalt. Es gilt

${}(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2})\otimes g=a_{1}(f_{1}\otimes g)+a_{2}(f_{2}\otimes g)\,$

und entsprechend in der zweiten Komponente.