Tiefe/Lokale Kohomologie/Zusammenhang/Textabschnitt

(SGA 2, Ex 3.4)

Satz

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler noetherscher Ring, ${}M$ ein endlicher erzeugter ${}R$-Modul und ${}U=D({\mathfrak {m}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Dann sind für eine natürliche Zahl ${}n$ die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Die Tiefe von ${}M$ ist zumindest ${}n$.
2. Der Einschränkungshomomorphismus

   $M\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\tilde {M}}\right)}$

   ist bijektiv (injektiv bei ${}n=1$) und

   ${}H^{i}(U,{\tilde {M}})=0\,$

   für ${}i=1,\ldots ,n-2$

3. Es ist ${}\operatorname {Ext} ^{i}(K,M)=0$ für ${}i<n$.
4. Es ist ${}H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0$ für ${}i<n$.

Beweis

Lokaler noetherscher Ring/Tiefe/Lokale Kohomologie/Fakt/Beweis

$\Box$