Topologie/Überlagerungen/Universelle Überlagerung/Fakt/Beweis

Beweis

Gegeben eine universelle Überlagerung ${}E\to X$, so kann man sowohl die unterliegende Menge als auch die Topologie von ${}E$ mit Hilfe von Daten ausdrücken, die nur mit ${}X$ zu tun haben. Dies führt zu folgender Definition. Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x_{0}\in X$. Dann ist

${}BX\colon =\{w\colon I\to X\colon w(0)=x_{0},\,w{\text{ stetig}}\}\,$

die Menge der basierten Wege in ${}X$. Die Auswertung eines basierten Weges an ${}1\in I$ liefert die Endpunkt-Abbildung ${}e\colon BX\to X,\,w\mapsto w(1)$ in die unterliegende Menge von ${}X$. Auf ${}BX$ ist die Äquivalenzrelation Homotopie relativ ${}\{0,1\}$ definiert. Es sei ${}BX\to {\tilde {X}}$ die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Ein Element in ${}{\tilde {X}}$ ist also eine relative Homotopieklasse von basierten Wegen in ${}X$. Sind ${}v,w\in [w]\in {\tilde {X}}$, so ist ${}v(1)=w(1)$, da ja die Homotopien den Endpunkt festhalten. Somit definiert die Endpunkt-Abbildung ${}e$ eine Abbildung

${}q\colon {\tilde {X}}\to X,\ \ \ [w]\mapsto w(1)\,.$

Dies wird die universelle Überlagerung sein. Um dies zu zeigen, wird ${}{\tilde {X}}$ zunächst mit einer Topologie versehen.

Es sei nun ${}X$ semi-lokal einfach-zusammenhängend, also insbesondere lokal wegzusammenhängend. Ist ${}[w]\in {\tilde {X}}$, so besitzt ${}x\colon =q([w])=w(1)$ eine Spezialumgebung ${}x\in U\subseteq X$, die nach obigem Lemma offen gewählt werden kann (was wir jetzt auch tun). Es sei nun

${}M([w],U)\colon ={\bigl \lbrace }[v]\in {\tilde {X}}\colon \exists u\colon I\to U{\text{ stetig mit }}u(0)=x,\,[v]=[w{\scriptscriptstyle {\Box }}u]{\bigr \rbrace }\,$

die Menge der relativen Homotopieklassen der basierten Wege, die sich darstellen lassen als Weg ${}w$ gefolgt von einem Weg ${}u$, der ganz in ${}U$ verläuft. Wir definieren nun: Eine Teilmenge ${}V\subseteq {\tilde {X}}$ ist offen, wenn zu jedem ${}[w]\in V$ eine offene Spezialumgebung ${}w(1)\in U\subseteq X$ existiert, sodass ${}M([w],U)\subseteq V$ gilt. Offensichtlich sind ${}\emptyset$ und ${}{\tilde {X}}$ offen. Sind ${}V_{1},V_{2}\subseteq {\tilde {X}}$ offen, so ist auch ${}V_{1}\cap V_{2}$ offen. Denn zu ${}[w]\in V_{1}\cap V_{2}$ gibt es offene Spezialumgebungen

${}w(1)\in U_{1}\subseteq X,\,w(1)\in U_{2}\subseteq X{\text{ mit }}M([w],U_{1})\subseteq V_{1},\,M([w],U_{2})\subseteq V_{2}\,.$

Es sei ${}U\subseteq X$ die Wegzusammenhangskomponente der offenen Menge ${}U_{1}\cap U_{2}$, die ${}w(1)$ enthält. Weil ${}X$ lokal wegzusammenhängend ist, ist ${}U$ offen in ${}X$ nach dieser Aussage. Also ist ${}U$ eine offene Spezialumgebung von ${}w(1)$, denn der induzierte Gruppenhomomorphismus ${}\pi _{1}(U,w(1))\to \pi _{1}(X,w(1))$ faktorisiert als

${}\pi _{1}(U,w(1))\to \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},w(1))\to \pi _{1}(U_{1},w(1))\to \pi _{1}(X,w(1))\,$

und ist somit trivial. Des weiteren gilt offensichtlich

${}M([w],U)\subseteq M([w],U_{1})\cap M([w],U_{2})\subseteq V_{1}\cap V_{2}\,,$

was die Offenheit von ${}V_{1}\cap V_{2}$ liefert. Dass eine Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist offensichtlich. Somit ist ${}{\tilde {X}}$ ein topologischer Raum.

Um zu zeigen, dass ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung ist, sei wieder ${}x\in U\subseteq X$ eine offene Spezialumgebung. Es ist

${}q^{-1}(U)=\{[v]\colon \,v\colon I\to X,\,v(0)=x_{0},\,v(1)\in U\}=\bigcup _{[w]\in q^{-1}(x)}M([w],U)\,.$

Denn zu ${}[v]\in q^{-1}(U)$ gibt es genau eine relative Homotopieklasse ${}[u(v)]$ eines Weges von ${}v(1)$ nach ${}x$ mit Bild in ${}U$. Somit liegt ${}[v]$ genau in der durch ${}[w]=[v{\scriptscriptstyle {\Box }}u(v)]$ indizierten Menge ${}M([w],U)$. Daraus folgert man zwei Sachen. Zum einen ist ${}q^{-1}(U)$ als Vereinigung offener Mengen wieder offen, was die Stetigkeit von ${}q$ liefert. Denn eine beliebige Umgebung eines Punktes enthält immer auch eine offene Spezialumgebung. Zum anderen ist die Vereinigung

${}\bigcup _{[w]\in q^{-1}(x)}M([w],U)\,$

disjunkt, wegen der oben erwähnten Eindeutigkeit. Es sei nun ${}\phi \colon M([w],U)\to U$ die Einschränkung von ${}q$ und ${}y\in U$, dann gibt es genau eine relative Homotopieklasse ${}[u(y)]$ eines Weges von ${}x$ nach ${}y$ mit Bild in ${}U$. Dies liefert eine Umkehrabbildung

${}\psi \colon U\to M([w],U),\,y\mapsto \psi (y)=[w{\scriptscriptstyle {\Box }}u(y)].\,$

Um die Stetigkeit von ${}\psi$ zu zeigen, reicht es, eine Menge der Form ${}M([v],V)\subseteq M([w],U)$ zu betrachten, wobei ${}[v]\in M([w],U)$ und ${}v(1)\in V\subseteq U$ eine offene Spezialumgebung ist. Dann ist

${}\psi ^{-1}{\bigl (}M([v],V){\bigr )}=\phi {\bigl (}M([v],V){\bigr )}=V\subseteq U\,$

offen in ${}U$. Somit ist ${}\phi \colon M([w],U)\to U$ eine topologische Äquivalenz. Anders ausgedrückt ist ${}q^{-1}(U)$ topologisch äquivalent zu dem Produkt ${}q^{-1}(x)\times U$, was zeigt, dass ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung ist.

Es bleibt zu zeigen, dass ${}{\tilde {X}}$ wegzusammenhängend und einfach-zusammenhängend ist. Es sei ${}[x_{0}]\in {\tilde {X}}$ die Homotopieklasse des konstanten Weges an ${}x_{0}$ und ${}[w]\in {\tilde {X}}$. Es sei ${}w\colon I\to X$ ein Repräsentant von ${}[x]$ und für alle ${}t\in I$ der Weg

${}w_{t}\colon I\to X,\,s\mapsto w_{t}(s)=w(s\cdot t)\,$

gegeben. Dann ist

${}W\colon I\to {\tilde {X}},\,t\mapsto [w_{t}]\,$

eine Abbildung mit ${}W(0)=[w_{0}]=[x_{0}]$ und ${}W(1)=[w_{1}]=[w]$. Sie ist stetig. Denn gegeben eine offene Spezialumgebung ${}w(t)\in U\subseteq X$, so gibt es aufgrund der Stetigkeit von ${}w$ ein ${}\delta >0$ mit

${}w{\bigl (}U_{I}(t,\delta ){\bigr )}\subseteq U\,$

. Insbesondere ist für jedes ${}s\in U_{I}(t,\delta )$ also ${}[w_{s}]\in M(w(t),U)$, denn

${}[w_{s}]=[w]{\scriptscriptstyle {\Box }}[u_{s}],\,u_{s}\colon I\to U,\,x\mapsto w{\bigl (}s+x(t-s){\bigr )}\,.$

Demnach ist ${}W$ ein Weg von ${}[x_{0}]$ nach ${}[w]$, und ${}{\tilde {X}}$ ist wegzusammenhängend. Der einfache Zusammenhang folgt, sobald ${}\pi _{1}({\tilde {X}},[x_{0}])$ trivial ist. Es sei also ${}v\colon I\to {\tilde {X}}$ eine Schleife an ${}[x_{0}]$ und ${}q\circ v\colon I\to X$ die induzierte Schleife an ${}x_{0}\in X$. Nun ist ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung, also ist ${}v$ nach diesem Satz bereits nullhomotop, wenn ${}q\circ v$ es ist. Es sei nun ${}w\colon I\to {\tilde {X}},\,t\mapsto [(q\circ v)_{t}]$ in obiger Notation, also ${}(q\circ v)_{t}(s)=(q\circ v)(s\cdot t)$. Dies ist ein Weg von ${}[x_{0}]$ zu ${}[(q\circ v)_{1}]=[q\circ v]$ mit der Eigenschaft, dass ${}q\circ w=q\circ v$ gilt. Die Eindeutigkeit aus dem Homotopie-Liftungssatz liefert nun ${}w=v$, also insbesondere

${}[q\circ v]=w(1)=v(1)=[x_{0}]\,,$

was den Beweis beendet.

Zur bewiesenen Aussage