Von (1) nach (2). Es sei
kompakt
mit dem Urbild
.
Es sei
-

eine offene Überdeckung. Zu jedem Punkt
gibt es ein
mit
.
Es sei
und seien
die weiteren Punkte, die auf
abbilden. Zu den offenen Umgebungen
gibt es eine offene Umgebung
,
über der
trivialisiert und mit
,
wobei
das Blatt zu
bezeichnet. Diese offenen Mengen bilden eine verfeinerte Überdeckung der Ausgangsüberdeckung. Die
bilden dann eine offene Überdeckung von
und somit gibt es davon eine endliche Teilüberdeckung
. Die zugehörigen Blätter
bilden dann eine endliche Überdeckung von
Von (2) nach (3) ist klar.
Von (3) nach (1). Sei
ein Punkt und seien
die Urbildpunkte von
. Zu jeden
gibt es eine offene Umgebung
, die homöomorph auf
abbildet. Man betrachtet die offene Menge
-

und ersetzt die
durch
. Durch eine weitere Verkleinerung können wir erreichen, dass
und damit auch die
wegzusammenhängend ist. Wir behaupten, dass
das Urbild von
ist. Nehmen wir an, es gebe einen Punkt
mit
,
der auf keinem
liegt. Wir betrachten einen Verbindungsweg
-
von
nach
. Das Urbild von
ist kompakt. Es enthält die kompakten Kopien innerhalb von
. Zu
gibt es eine offene Umgebung
, die homöomorph nach
abbildet und darin gibt es eine Liftung des Teilweges durch
. Es sei
das Supremum der reellen Zahlen
, für die eine
stetige Liftung
mit
definiert ist. Wegen
Aufgabe
ist die Liftung eindeutig und dieser Weg ist auf
definiert. Aufgrund der Eigentlichkeit ist dies auch für
definiert. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es bei
eine offene Umgebung von
, die homöomorph auf eine offene Teilmenge von
abbildet und somit würde es eine weitere Fortsetzung des Liftungsweges geben. Also ist
und somit endet die Liftung in einem der Punkte über
, sagen wir in
. Dann muss aber diese Liftung mit der Liftung innerhalb von
übereinstimmen und damit ist selbst
.