Topologische Räume/Relatives Produkt/Abbildung/Rückzug/Aufgabe

Es seien ${}X,Y,Z$ und ${}X'$ topologische Räume und es liege ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen

${\begin{matrix}&Y&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Z\\&&\searrow &\downarrow \\&X'&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&X\end{matrix}}$

vor. Es sei ${}Y'=\varphi ^{*}Y=Y\times _{X}X'$ und ${}Z'=\varphi ^{*}Z=Z\times _{X}X'$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}&Y'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Z'\\&&\searrow &\downarrow \\&&&X'\end{matrix}}$

vorliegt.

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