Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition

Konvergente Folge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum ${}X$. Man sagt, dass die Folge gegen  ${}x\in X$  konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung  ${}U\subseteq X$  von ${}x$ gibt es ein  ${}n_{0}\in \mathbb {N}$  derart, dass für alle  ${}n\geq n_{0}$  die Folgenglieder ${}x_{n}$ zu ${}U$ gehören.

In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.