Topologischer Raum/Garben/Morphismen/Garbe/Fakt/Beweis

Beweis

Da ein Garbenmorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {F}}{|}_{U}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U}$

eine Abbildung

$\Gamma {\left(V,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}$

für jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ beinhaltet, gibt es unmittelbar eine Einschränkung

$\varphi {|}_{V}\colon {\mathcal {F}}{|}_{V}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{V}.$

Das bedeutet, dass

$U\longmapsto \operatorname {Mor} {\left({\mathcal {F}}{|}_{U},{\mathcal {G}}{|}_{U}\right)}$

eine Prägarbe ist. Zum Nachweis der Garbeneigenschaften sei

${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

eine offene Überdeckung. Es seien

$\varphi ,\psi \colon {\mathcal {F}}{|}_{U}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U}$

Garbenmorphismen derart, dass die Einschränkungen

${}\varphi _{i}=\varphi {|}_{U_{i}}=\psi {|}_{U_{i}}=\psi _{i}\,$

übereinstimmen. Es sei ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}$ mit den Einschränkungen ${}s_{i}:=s{|}_{U_{i}}$. Es ist dann

${}\varphi (s_{i})=\psi (s_{i})\,.$

Somit stimmen

${}\varphi (s),\psi (s)\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,$

lokal überein und damit stimmen sie wegen der Garbeneigenschaft auch direkt überein.

Zum Nachweis der zweiten Garbeneigenschaft seien Garbenmorphismen

$\varphi _{i}\colon {\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U_{i}}$

gegeben, die die Verträglichkeitsbedingung

${}\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

erfüllen. Es ist die Existenz eines Garbenmorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {F}}{|}_{U}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U}$

nachzuweisen, dessen Einschränkungen die vorgegebenen ${}\varphi _{i}$ ergibt. Es sei hierzu wieder ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}$. Sei

${}t_{i}=\varphi _{i}{\left(s{|}_{U_{i}}\right)}\,.$

Wegen

${}{\left(s{|}_{U_{i}}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}={\left(s{|}_{U_{j}}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}{\left(t_{i}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}&={\left(\varphi _{i}{\left(s{|}_{U_{i}}\right)}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\\&={\left(\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}{\left(s{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\right)}\right)}\\&={\left(\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}{\left(s{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\right)}\right)}\\&={\left(\varphi _{j}{\left(s{|}_{U_{j}}\right)}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\\&={\left(t_{j}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\end{aligned}}$

und somit bilden die ${}t_{i}$ eine verträgliche Familie von Schnitten. Daher gibt es eine eindeutig bestimmtes Element ${}t\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ mit ${}t_{i}=t{|}_{U_{i}}$. Die Festlegung ${}\varphi (s):=t$ ergibt somit eine Abbildung

$\varphi \colon \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)},$

deren Einschränkungen die vorgegebenen ${}\varphi _{i}$ sind.

Zur bewiesenen Aussage