Topologischer Raum/Kompakt/R/Stone-Weierstrass/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die stetige Funktion

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

und ein ${}\epsilon >0$ gegeben. Wegen der Trennungseigenschaft gibt es für je zwei Punkte ${}x,y$ nach Fakt eine Funktion ${}g_{xy}\in T$ mit ${}g_{xy}(x)=f(x)$ und ${}g_{xy}(y)=f(y)$. Diese seien für jedes Punktepaar gewählt. Wir betrachten zu ${}x\in X$ die offenen Mengen

${}U_{y}={\left\{z\in X\mid g_{xy}(z)<f(z)+\epsilon \right\}}\,,$

die ${}y$ enthalten. Wegen ${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}$ und der Kompaktheit von ${}X$ gibt es endlich viele Punkte ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ mit ${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}$. Wir setzen

${}g_{x}:=\operatorname {min} \left(g_{xy_{i}}{|}i=1,\ldots ,n\right)\,,$

diese Funktionen gehören nach Fakt zu ${}T$. Nach Konstruktion ist

${}g_{x}<f+\epsilon \,$

auf ganz ${}X$. Ferner ist ${}g_{x}(x)=f(x)$, da dies für jedes der beteiligten ${}g_{xy_{i}}$ gilt. Deshalb gibt es wiederum eine offene Umgebung ${}x\in V_{x}$, auf der

${}f-\epsilon <g_{x}\,$

gilt. Es gibt wieder endliche viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ derart, dass die ${}V_{x_{j}}$ bereits ${}X$ überdecken. Daher gehört wegen Fakt

${}h:=\operatorname {max} \left(g_{x_{j}}{|}j=1,\ldots ,m\right)\,$

zu ${}T$. Es gilt

${}f-\epsilon <h<f+\epsilon \,$

und somit hat man ein ${}h\in T$ aus der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f$ gefunden.

Zur bewiesenen Aussage