Topologischer Raum/Maßraum/Teilmenge/Indikatorfunktion/Stetige Approximation/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $A\subseteq T\subseteq U$  mit einer abgeschlossenen Teilmenge $A$ und einer offenen Teilmenge $U$ derart, dass

$\mu (U\setminus A)\le ϵ$

ist. Dann sind $A$ und $X\setminus U$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen und daher gibt es in dem normalen Raum nach dem Lemma von Urysohn eine stetige Funktion $f$, deren Bild in $[0,1]$ ist und die auf $A$ den Wert $1$ und auf $X\setminus U$ den Wert $0$ besitzt. Daher stimmt $f$ auf $A$ und auf $X\setminus U$ mit der Indikatorfunktion zu $T$ überein und die Abweichungsmenge liegt in $U\setminus A$, dessen Maß höchstens $ϵ$ ist.

Zur bewiesenen Aussage