Topologischer Raum/Maßraum/Teilmenge/Indikatorfunktion/Stetige Approximation/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}A\subseteq T\subseteq U$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge ${}A$ und einer offenen Teilmenge ${}U$ derart, dass

${}\mu (U\setminus A)\leq \epsilon \,$

ist. Dann sind ${}A$ und ${}X\setminus U$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen und daher gibt es in dem normalen Raum nach dem Lemma von Urysohn eine stetige Funktion ${}f$, deren Bild in ${}[0,1]$ ist und die auf ${}A$ den Wert ${}1$ und auf ${}X\setminus U$ den Wert ${}0$ besitzt. Daher stimmt ${}f$ auf ${}A$ und auf ${}X\setminus U$ mit der Indikatorfunktion zu ${}T$ überein und die Abweichungsmenge liegt in ${}U\setminus A$, dessen Maß höchstens ${}\epsilon$ ist.

Zur bewiesenen Aussage