Topologischer Raum/Matrix/Kerngarbe/Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

$\varphi \colon X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ^{m}$

ein Homomorphismus zwischen trivialen Vektorbündeln. Dieser wird durch eine stetige Abbildung

$M\colon X\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(C^{0}(X,\mathbb {R} ))$

beschrieben, d.h. jedem Punkt wird in stetiger Weise eine Matrix zugeordnet, die für diesen Punkt eine lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{n}$ nach ${}\mathbb {R} ^{m}$ beschreibt. Dies kann man unmittelbar als Homomorphismus von Garben von Gruppen auf ${}X$ auffassen, nämlich als

$C^{0}(-,\mathbb {R} )^{n}\longrightarrow C^{0}(-,\mathbb {R} )^{m},\,{\begin{pmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}.$

Diese Abbildung ist der Garbenmorphismus auf der Ebene der Schnitte in den Bündeln. In Beispiel liegt zu ${}X=\mathbb {R} ^{3}$ die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ,\,(r,s,t;u,v,w)\longmapsto (r,s,t;ru+sv+tw),$

bzw.

$M\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{1\times 3}(K),\,(r,s,t)\longmapsto (r,s,t),$

vor.

Die Kerngarbe besteht über ${}U$ einfach aus

${}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U)={\left\{{\begin{pmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}\in C^{0}(U,\mathbb {R} )^{n}\mid M{\begin{pmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}=0\right\}}\subseteq C^{0}(U,\mathbb {R} )^{n}\,.$