Topologischer Raum/Topologische Gruppe/Garbe/Welke Auflösung/Bemerkung

Es sei ${}G$ eine topologische Gruppe und ${}X$ ein topologischer Raum. Wir betrachten die Garbe der stetigen Abbildungen nach ${}G$, also ${}C^{0}(-,G)$, mit

${}C^{0}(U,G)={\left\{f:U\rightarrow G{\text{ Abbildung}}\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Es gibt eine natürliche Inklusion von Garben

${}C^{0}(-,G)\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}\,$

und somit eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Hierbei ist die Abbildungsgarbe in der Mitte welk, da man ja jede Abbildung auf eine größere Menge fortsetzen kann. Daher ist

${}H^{1}(X,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)})=0\,$

nach Fakt und somit beginnt die lange exakte Kohomologiesequenz mit

$0\longrightarrow C^{0}(X,G)\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(X,G\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/C^{0}(-,G)\right)}\longrightarrow H^{1}(X,C^{0}(-,G))\longrightarrow 0.$

Jede erste Kohomologieklasse zu ${}C^{0}(-,G)$ wird also durch ein globales Element der Quotientengarbe ${}\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/C^{0}(-,G)$ repräsentiert, und zwei solche Repräsentanten definieren genau dann die gleiche Klasse, wenn ihre Differenz von einer Abbildung von ${}X$ nach ${}G$ herrührt. Wie bei jeder Quotientengarbe wird gemäß Fakt  (1) ein globales Element durch eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Schnitte ${}f_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}\right)}$ (also Abbildungen ${}f_{i}\colon U_{i}\rightarrow G$) repräsentiert mit der Eigenschaft, dass die Differenzen ${}f_{i}-f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ von der Untergarbe herkommen, also stetige Funktionen auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ sind. Ein solches Element rührt nach Fakt  (2) genau dann von links her (und geht auf die triviale Kohomologieklasse), wenn es eine Funktion ${}f\colon X\rightarrow G$ mit der Eigenschaft gibt, dass die Differenzen ${}g_{i}:=f_{i}-f{|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$ stetig sind. In diesem Fall ist auf ${}U_{i}\cap U_{j}$

${}g_{i}-g_{j}=f_{i}-f-{\left(f_{j}-f\right)}=f_{i}-f_{j}\,.$

Wenn es umgekehrt eine solche Familie von stetigen Funktionen ${}g_{i}$ auf ${}U_{i}$ gibt, deren Differenzen mit den vorgegebenen Differenzen übereinstimmen, so kann man daraus über

${}f:=f_{i}-g_{i}\,$

auf ${}U_{i}$, da dies eine verträgliche Bedingung ist, eine globale Funktion auf ${}X$ definieren. Die erste Kohomologiegruppe der Garbe der stetigen Funktionen ist somit genau dann trivial, wenn es zu jeder Familie ${}(U_{i},f_{i})$ mit ${}f_{i}-f_{j}$ stetig eine Familie ${}(U_{i},g_{i})$ mit stetigen Funktionen ${}g_{i}$ und den gleichen Differenzen gibt.