Topologischer Raum/Topologische Gruppe/Garbe/Welke Auflösung/Bemerkung

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Es sei eine topologische Gruppe und ein topologischer Raum. Wir betrachten die Garbe der stetigen Abbildungen nach , also , mit

Es gibt eine natürliche Inklusion von Garben

und somit eine kurze exakte Garbensequenz

Hierbei ist die Abbildungsgarbe in der Mitte welk, da man ja jede Abbildung auf eine größere Menge fortsetzen kann. Daher ist

nach Fakt und somit beginnt die lange exakte Kohomologiesequenz mit

Jede erste Kohomologieklasse zu wird also durch ein globales Element der Quotientengarbe repräsentiert, und zwei solche Repräsentanten definieren genau dann die gleiche Klasse, wenn ihre Differenz von einer Abbildung von nach herrührt. Wie bei jeder Quotientengarbe wird gemäß Fakt  (1) ein globales Element durch eine offene Überdeckung und Schnitte (also Abbildungen ) repräsentiert mit der Eigenschaft, dass die Differenzen von der Untergarbe herkommen, also stetige Funktionen auf sind. Ein solches Element rührt nach Fakt  (2) genau dann von links her (und geht auf die triviale Kohomologieklasse), wenn es eine Funktion mit der Eigenschaft gibt, dass die Differenzen für alle stetig sind. In diesem Fall ist auf

Wenn es umgekehrt eine solche Familie von stetigen Funktionen auf gibt, deren Differenzen mit den vorgegebenen Differenzen übereinstimmen, so kann man daraus über

auf , da dies eine verträgliche Bedingung ist, eine globale Funktion auf definieren. Die erste Kohomologiegruppe der Garbe der stetigen Funktionen ist somit genau dann trivial, wenn es zu jeder Familie mit stetig eine Familie mit stetigen Funktionen und den gleichen Differenzen gibt.