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Topologischer Raum/Welke Garben/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Sei vorgegeben. Wir verwenden das Lemma von Zorn und betrachten die Menge

    Wir führen auf durch , falls und eine Fortsetzung von ist, eine Ordnung ein. Diese Menge ist aufgrund der Garbeneigenschaft induktiv geordnet. Nach dem Lemma von Zorn gibt es somit ein maximales Element in . Es ist zu zeigen, dass ist. Es sei also angenommen und sei . Wegen der Garbensurjektivität gibt es eine offene Umgebung und einen Schnitt , der auf (die Restriktion auf ) abbildet. Daher bildet auf ab und gehört somit zu . Wegen der Welkheit von gibt es einen Schnitt

    der auf einschränkt. Wir ersetzen durch

    Dieses Element wird nach wie vor nach abgebildet und es ist

    Somit sind und als Schnitte von über bzw. verträglich und legen einen Schnitt fest, der nach abbildet. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von .

  2. Folgt aus (1).