Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Spezielle partielle Ableitung/Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{m}$ und ${}D\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ in ${}P\in G$ und ${}g$ in ${}f(P)\in D$ total differenzierbar ist. Zeige

${}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)=\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{1}}}(f(P)),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{n}}}(f(P))\right){\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{r}}}(f(P))\cdot {\frac {\partial f_{r}}{\partial x_{i}}}(P)\,.$

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