Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Spezielle partielle Ableitung/Aufgabe/Kommentar

Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, mit den Jacobi-Matrizen zu ${}f$ und ${}g$ zu arbeiten.

Die Jacobi-Matrix zu ${}f$ ist gegeben durch

$\operatorname {Jak} (f)_{P}=\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)_{1\leq j\leq m, \atop 1\leq i\leq n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

Hierbei sollte man darauf achten, dass die Spalten über die Koordinaten ${}x_{1},\dots ,x_{n}$ indiziert sind (man sollte die Matrix nicht versehentlich transponieren), weil wir die Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom ${}n$-dimensionalen in den ${}m$-dimensionalen Raum auffassen. Das heißt, wir wollen den Koordinatenvektor ${}(x_{1},\dots ,x_{n})$ von rechts an die Matrix dranmultiplizieren können.

Für die Jacobi-Matrix der Verknüpfung gilt nun

${}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,$

nach Fakt. Die zu zeigende Aussage lässt sich daraus direkt ableiten, denn ${}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ ist ein Eintrag der Matrix ${}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}$.

Zur kommentierten Aufgabe