Totales Differential 0/Konstante Abbildung/Aufgabe/Kommentar

Wir wollen beweisen, dass die Funktion ${}\varphi$ auf ${}V$ konstant ist. Dafür reicht es für einen beliebigen Punkt ${}P\in V$ eine kleine Umgebung ${}U_{P}\subset V$ zu betrachten und zu zeigen, dass der Funktionswert in ${}P$ mit dem eines beliebig Punktes ${}Q\in U_{P}$ übereinstimmt. ${}Q$ lässt sich schreiben als ${}P+v$ für ein ${}v\in V$. Da ${}\varphi$ überall total differenzierbar ist, mit ${}\left(D\varphi \right)_{P}=0$, folgt mit Fakt, dass ${}\varphi$ in Richtung ${}v$ differenzierbar ist mit Richtungsableitung ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0$. Insbesondere können wir das für alle Punkte auf der Verbindungslinie zwischen ${}P$ und ${}Q=P+v$ machen. Betrachten wir nun ${}\varphi$ nur auf diesem Verbindungsstück, erhalten wir die differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi (P+tv),$

deren Ableitung konstant Null ist. Die Komponenten der Kurve sind nun eindimensionale differenzierbare Funktionen mit Ableitung null, siehe Fakt. Hier lässt sich nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes, Fakt

die Gleichheit der Komponenten von ${}\varphi$ an Anfangs und Endpunkt der Kurve zeigen.

Zur kommentierten Aufgabe