Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f:I⟶V$

eine Abbildung. Es sei $v_1,v_2,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$ und es seien

$f_j:I⟶ℝ$

die zugehörigen Komponentenfunktionen von $f$. Es sei  $t\in I$. 

Dann ist $f$ genau dann differenzierbar in $t$, wenn sämtliche Funktionen $f_j$ in $t$ differenzierbar sind.

In diesem Fall gilt

$f^{\prime }(t)={f_1}^{\prime }(t)\cdot v_1+{f_2}^{\prime }(t)\cdot v_2+\cdots +{f_n}^{\prime }(t)\cdot v_n.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen