Es soll eine Straße in der Ebene der Breite
asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve
-
bestimmt ist. Dabei sei
zweimal stetig differenzierbar
und
bogenparametrisiert,
d.h. es sei
,
was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung
-
parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung
injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.
Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist
-

Die Determinante davon ist

Daher ist die Asphaltfläche nach
der Transformationsformel
gleich
-
Wenn wir weiter annehmen, dass
-

ist
(was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist),
so ist dieses Integral nach
Fakt
geich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[0,s]\times [-a,a]}1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}\,d\lambda ^{2}&=2as-{\left(\int _{-a}^{a}r\,dr\right)}{\left(\int _{0}^{s}g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\,dt\right)}\\&=2as-0\cdot {\left(\int _{0}^{s}g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\,dt\right)}\\&=2as.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4d47d2b99f40cfab3c12cb4299096166b2190c)
Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist.