Es soll eine Straße in der Ebene der Breite 
asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve
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![{\displaystyle [0,s]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \psi (t)={\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43700ff2426cb634e3ca26c0a1b775e72ccd10b)
bestimmt ist. Dabei sei 
zweimal stetig differenzierbar
und
bogenparametrisiert,
d.h. es sei
,
was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung
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![{\displaystyle \varphi \colon [0,s]\times [-a,a]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,r)\longmapsto {\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}-g'(t)\\f'(t)\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2403589783677f65497daf2ddd9907d898b15c48)
parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.
Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist
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Die Determinante davon ist
Daher ist die Asphaltfläche nach
der Transformationsformel
gleich
-
![{\displaystyle \int _{[0,s]\times [-a,a]}\vert {1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}}\vert \,d\lambda ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0dd740a405bb4dfa0a7a9a57fbd1447475d0f4)
Wenn wir weiter annehmen, dass
-
ist
(was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist),
so ist dieses Integral nach
Fakt
geich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[0,s]\times [-a,a]}1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}\,d\lambda ^{2}&=2as-{\left(\int _{-a}^{a}r\,dr\right)}{\left(\int _{0}^{s}g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\,dt\right)}\\&=2as-0\cdot {\left(\int _{0}^{s}g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\,dt\right)}\\&=2as.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4d47d2b99f40cfab3c12cb4299096166b2190c)
Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist.
