Transformationsformel/Integral/Kompakte Teilmenge/Zylinderkoordinaten/Fakt

Transformationsformel für Zylinderkoordinaten

Für die Zylinderkoordinatenauswertung

$\Psi \colon G=\mathbb {R} _{+}\times ]0,2\pi [\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,z)\longmapsto \left(r\cos \theta ,\,r\sin \theta ,\,z\right),$

eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \Psi (G)$ und eine stetige Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

gilt die Beziehung

${}\int _{T}f\,d\lambda ^{3}=\int _{\Psi ^{-1}(T)}(f\circ \Psi )\cdot r\,d\lambda ^{3}\,.$

Dies kann man auch als

$\int \int \int _{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{\Psi ^{-1}(T)}{\tilde {f}}(r,\theta ,z)\cdot rdrd\theta dz\,$

schreiben, wobei ${}{\tilde {f}}=f\circ \Psi$ bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen