Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Es seien zunächst die Komponentenabbildungen trigonalisierbar. Es sei

und seien

Basen von , bezüglich denen die beschreibenden Matrizen zu obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung bezüglich der durch alle Vektoren gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind . Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.

Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass ist, sei also zur Notationsvereinfachung und gegeben und sei

trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis , , bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien

so gewählt (mit ), dass

eine Basis von bilden und dass genau für

gilt. Die sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume

die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die , ganz erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis

und damit insbesondere

Da die dabei auftretenden Linearkombinationen der sind, gilt

was die Trigonalisierbarkeit von bedeutet.
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