Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien zunächst die Komponentenabbildungen ${}\varphi _{i}$ trigonalisierbar. Es sei

{}d_{i}=\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\,

und seien

v_{i1},\ldots ,v_{id_{i}},\,i=1,\ldots ,n,

Basen von ${}V_{i}$ , bezüglich denen die beschreibenden Matrizen ${}M_{i}$ zu ${}\varphi _{i}$ obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung bezüglich der durch alle Vektoren ${}v_{ij}$ gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die ${}M_{i}$ als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind ${}0$ . Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.

Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass ${}n=2$ ist, sei also zur Notationsvereinfachung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ und ${}\psi \colon W\rightarrow W$ gegeben und sei

\varphi \times \psi \colon V\times W\longrightarrow V\times W

trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch ${}\varphi$ trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis ${}(v_{k},w_{k})$ , ${}k=1,\ldots ,m$ , bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien

{}k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{d}\,

so gewählt (mit ${}d=\dim _{K}{\left(V\right)}$ ), dass

v_{k_{1}},\ldots ,v_{k_{d}}

eine Basis von ${}V$ bilden und dass ${}v_{i}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{i-1}\rangle$ genau für

{}i\neq k_{j}\,

gilt. Die ${}k_{j}$ sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume

{}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,

die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die ${}v_{k}$ , ${}k=1,\ldots ,m$ ganz ${}V$ erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis