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Trigonometrische Reihen/C/Zusammenfassung/Textabschnitt

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Für heißt

die Kosinusreihe und

die Sinusreihe zu .

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.



Die Funktionen

und

besitzen für folgende Eigenschaften.

  1. Für ist

    Speziell gilt die eulersche Formel

  2. Es ist und .
  3. Es ist und .
  4. Es ist

    und

  5. Es gelten die Additionstheoreme

    und

  6. Es gilt

Beweis

Siehe Aufgabe.


Für reelle sind und wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles das Paar ein Punkt auf dem Einheitskreis ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als schreiben lässt, wobei man als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode auf, wobei die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven reellen Nullstelle des Kosinus eingeführt wird, siehe Fakt.

Mit dieser Zahl kann man die folgenden Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen formulieren.


Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.

  1. Es ist und für alle .
  2. Es ist und für alle .
  3. Es ist und für alle .
  4. Es ist , , und . Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form , .
  5. Es ist , , , und . Die Nullstellen des Sinus sind von der Form , .

Beweis

Siehe Aufgabe.