Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.
Für reelle sind
und
wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles das Paar ein Punkt auf dem Einheitskreis ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als schreiben lässt, wobei man als Winkel
(im Bogenmaß)
interpretieren kann. Dabei tritt die Periode auf, wobei die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven reellen Nullstelle des Kosinus eingeführt wird, siehe
Fakt.
Mit dieser Zahl kann man die folgenden Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen formulieren.