Trigonometrisches Polynom/Nullstellenanzahl/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Faktorisierung

$\mathbb {R} {\stackrel {p}{\longrightarrow }}S^{1}{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }$

mit

${}p(t)=e^{{\mathrm {i} }\omega t}\,$

und der rationalen Funktion

${}{\tilde {f}}(z)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}z^{n}\,.$

Da ${}p$ eine Bijektion zwischen ${}[0,T[$ und ${}S^{1}$ stiftet, besitzt ${}f$ in dem Intervall genau dann eine Nullstelle, wenn ${}{\tilde {f}}$ auf dem Einheitskreis eine Nullstelle besitzt. Wir schreiben

${}{\tilde {f}}(z)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}z^{n}={\frac {\sum _{k=0}^{2N}c_{k-N}z^{k}}{z^{N}}}\,.$

Das Polynom im Zähler besitzt den Grad ${}2N$ und die Nullstellen von ${}{\tilde {f}}$ hängen allein von diesem Polynom ab, die Aussage folgt somit aus

Fakt.

Zur gelösten Aufgabe