Beweis
Wir behandeln den Fall, wo
die obere Intervallgrenze ist. Für alle
ist
-
![{\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}h(t)\,dt\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c48f80637c7782efae7183171f975d61c899d58)
wegen
für alle
.
Wegen der Nichtnegativität von
und von
wachsen beide Seite bei
, und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral
beschränkt. Nach
Fakt
existiert der
Grenzwert
-
![{\displaystyle {}\operatorname {lim} _{b\rightarrow r}\,\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{r}f(t)\,dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484d5f04ee21b16ede169bef2b8047aa05b8e349)