Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir behandeln den Fall, wo ${}r$ die obere Intervallgrenze ist. Für alle  ${}b\in I$  ist

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}h(t)\,dt\,$

wegen  ${}f(t)\leq h(t)$  für alle  ${}t\in I$.  Wegen der Nichtnegativität von ${}h$ und von ${}f$ wachsen beide Seite bei ${}b\rightarrow r$, und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{r}h(t)\,dt$ beschränkt. Nach Fakt existiert der Grenzwert

${}\operatorname {lim} _{b\rightarrow r}\,\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{r}f(t)\,dt\,.$

Zur bewiesenen Aussage