Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir behandeln den Fall, wo ${}r$ die obere Intervallgrenze ist. Für alle ${}b\in I$ ist

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}h(t)\,dt$

wegen ${}f(t)\leq h(t)$ für alle ${}t\in I$. Wegen der Nichtnegativität von ${}h$ und von ${}f$ wachsen beide Seite bei ${}b\rightarrow r$, und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{r}h(t)\,dt$ beschränkt. Nach Fakt existiert der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{b\rightarrow r}\,\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{r}f(t)\,dt.$

Zur bewiesenen Aussage