Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/t^c/Beispiel

Es sei ${}f(t):=t^{c}$ mit ${}c\in \mathbb {R}$. Wir interessieren uns für das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}t$ von ${}1$ bis ${}\infty$. Der kritische (uneigentliche) Randpunkt ist also ${}+\infty$. Bei ${}c=-1$ ist ${}\ln t$ eine Stammfunktion von ${}1/t$. Daher ist

${}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\ln x\,,$

und der Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.

Es sei nun ${}c<-1$. Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left(\int _{1}^{x}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{1}^{x}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}-{\frac {1}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich um eine Potenz von ${}x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,x^{{c}+1}=0$. Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert ${}-{\frac {1}{c+1}}$.

Bei ${}c>-1$ ist ${}t^{c}\geq t^{-1}$ für ${}t\geq 1$ und daher kann nach Fakt das uneigentliche Integral nicht existieren.