Es sei
mit
.
Wir interessieren uns für das
uneigentliche Integral
zu
für
von
bis
.
Der kritische
(uneigentliche) Randpunkt
ist also
. Bei
ist
eine Stammfunktion von
. Daher ist
-
![{\displaystyle {}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\ln x\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5195caefda1dbf05ba6fa96e3806f6b3b940f7)
und der
Grenzwert
für
existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.
Es sei nun
.
Dann ist
eine Stammfunktion zu
und daher ist
-
![{\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left(\int _{1}^{x}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{1}^{x}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}-{\frac {1}{{c}+1}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ac57111cbcad44ebc4138904a8d7e8462d917f)
Da es sich um eine Potenz von
mit einem negativen Exponenten handelt, ist
.
Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert
.
Bei
ist
für
und daher kann nach
Fakt
das uneigentliche Integral nicht existieren.