Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Riemannsche Zetafunktion/Textabschnitt

Die Riemannsche Zeta-Funktion im Reellen

Nach Beispiel existiert für ${}c<-1$ das uneigentliche Integral ${}\int _{1}^{\infty }t^{c}\,dt$, sodass aufgrund von Fakt auch die Reihen ${}\sum _{n=1}^{\infty }n^{c}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{-c}}}$ konvergieren. Daher ist die folgende Funktion wohldefiniert.

Definition

Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in \mathbb {R}$ mit ${}s>1$ durch

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

definiert.

Diese Funktion lässt sich komplex fortsetzen und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie.