Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition

Geometrische Realisierung eines Graphen

Es sei ${}G=(V,E)$ ein Graph. Eine (überschneidungsfreie) geometrische Realisierung von ${}G$ im ${}\mathbb {R} ^{d}$ besteht aus folgenden Daten.

1. Eine injektive Abbildung

   $V\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},\,v\longmapsto P_{v},$

   zu jedem Knotenpunkt ${}v\in V$ gibt es also einen Punkt ${}P_{v}\in \mathbb {R} ^{d}$ und verschiedene Knotenpunkte besitzen verschiedene Realisierungen ${}P_{v}$.

2. Zu jeder Kante ${}L=\{u,v\}\in E$ eine injektive stetige Abbildung

   $\varphi _{L}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

   mit ${}\varphi _{L}(0)=P_{u}$ und ${}\varphi _{L}(1)=P_{v}$.

3. Für verschiedene Kanten ${}L\neq L'$ ist

   ${}\varphi _{L}(]0,1[)\cap \varphi _{L'}(]0,1[)=\emptyset \,.$