Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition

Geometrische Realisierung eines Graphen

Es sei  ${}G=(V,E)$  ein Graph. Eine (überschneidungsfreie) geometrische Realisierung von ${}G$ im ${}\mathbb {R} ^{d}$ besteht aus folgenden Daten.

1. Eine injektive Abbildung

   $V\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},\,v\longmapsto P_{v},$

   zu jedem Knotenpunkt  ${}v\in V$  gibt es also einen Punkt  ${}P_{v}\in \mathbb {R} ^{d}$  und verschiedene Knotenpunkte besitzen verschiedene Realisierungen ${}P_{v}$.

2. Zu jeder Kante  ${}L=\{u,v\}\in E$  eine injektive stetige Abbildung

   $\varphi _{L}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

   mit  ${}\varphi _{L}(0)=P_{u}$  und  ${}\varphi _{L}(1)=P_{v}$. 

3. Für verschiedene Kanten  ${}L\neq L'$  ist

   ${}\varphi _{L}(]0,1[)\cap \varphi _{L'}(]0,1[)=\emptyset \,.$