Untergruppe/Erzeugte Untergruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge  $H\subseteq G$  heißt Untergruppe von $G$, wenn Folgendes gilt.

1.  $e\in H$. 
2. Mit  $g,h\in H$  ist auch  $g\circ h\in H$. 
3. Mit  $g\in H$  ist auch  $g^{-1}\in H$. 

Man hat beispielsweise die beiden Ketten von sukzessiven additiven Untergruppen,

$\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq ℝ\subseteq ℂ$

und multiplikativen Gruppen

$\{1,-1\}\subseteq {\mathbb{Q}}^{\times }\subseteq {ℝ}^{\times }\subseteq {ℂ}^{\times }.$

Die triviale Gruppe $\{e\}$ ist Untergruppe von jeder Gruppe. Untervektorräume eines Vektorraums sind ebenfalls Untergruppen.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und $H_i\subseteq G$, $i\in I$, eine Familie von Untergruppen. Dann ist auch der Durchschnitt

$\bigcap _{i\in I}{H}_i$

eine Untergruppe von $G$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und  $M\subseteq G$  eine Teilmenge. Dann nennt man

$(M)=\bigcap _{M\subseteq H,H\text{Untergruppe}}H$

die von $M$ erzeugte Untergruppe.

Insbesondere spricht man zu einer endlichen Menge  $g_1,\dots ,g_n\in G$  von der davon erzeugten Untergruppe

$(g_1,\dots ,g_n).$

Sie besteht aus allen „Wörtern“ oder „Termen“ (Buchstabenkombinationen) in den $g_i$ und $g_i^{-1}$. Zu einem einzigen Element $g$ hat die davon erzeugte Gruppe eine besonders einfache Gestalt, sie besteht nämlich aus allen Potenzen

$g^k,k\in \mathbb{Z},$

wobei diese Potenzen untereinander nicht verschieden sein müssen.