Untergruppe/Erzeugte Untergruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

Man hat beispielsweise die beiden Ketten von sukzessiven additiven Untergruppen,

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }\,$

und multiplikativen Gruppen

${}\{1,-1\}\subseteq \mathbb {Q} ^{\times }\subseteq \mathbb {R} ^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }\,.$

Die triviale Gruppe ${}\{e\}$ ist Untergruppe von jeder Gruppe. Untervektorräume eines Vektorraums sind ebenfalls Untergruppen.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H_{i}\subseteq G$, ${}i\in I$, eine Familie von Untergruppen. Dann ist auch der Durchschnitt

$\bigcap _{i\in I}H_{i}$

eine Untergruppe von ${}G$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M\subseteq G$ eine Teilmenge. Dann nennt man

${}(M)=\bigcap _{M\subseteq H,\,H\,{\text{Untergruppe}}}H\,$

die von ${}M$ erzeugte Untergruppe.

Insbesondere spricht man zu einer endlichen Menge ${}g_{1},\ldots ,g_{n}\in G$ von der davon erzeugten Untergruppe

$(g_{1},\ldots ,g_{n}).$

Sie besteht aus allen „Wörtern“ oder „Termen“ (Buchstabenkombinationen) in den $g_{i}$ und $g_{i}^{-1}$. Zu einem einzigen Element ${}g$ hat die davon erzeugte Gruppe eine besonders einfache Gestalt, sie besteht nämlich aus allen Potenzen

$g^{k},\,k\in \mathbb {Z} ,$

wobei diese Potenzen untereinander nicht verschieden sein müssen.