Untervektorräume/Gleiche Dimension/Gemeinsames direktes Komplement/Aufgabe/Lösung

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Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Kodimension von (die nach Voraussetzung mit der Kodimension von übereinstimmt) in . Wenn diese ist, so ist

und der Nullraum ist das gemeinsame direkte Komplement. Sei nun die Kodimension positiv und die Aussage für kleinere Kodimension schon bewiesen. Bei ist die Behauptung klar. Sei also . Nach Aufgabe ist

und daher gibt es einen Vektor mit . Dann besitzen und

eine kleinere gemeinsame Kodimension, so dass wir darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Sei ein gemeinsames direktes Komplement von und von . Dann ist ein gemeinsames direktes Komplement von und von .
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