Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Dualraum $V^{\ast }$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen  $U\subseteq U^{\prime }\subseteq V$  ist

   $U^{\perp }\supseteq U{\text{'}}^{\perp }.$

2. Zu Untervektorräumen  $F\subseteq F^{\prime }\subseteq V^{\ast }$  ist

   $F^{\perp }\supseteq F{\text{'}}^{\perp }.$

3. Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U$

   und

   ${\left(F^{\perp }\right)}^{\perp }=F.$

4. Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${\dim }_K\left(U^{\perp }\right)={\dim }_K\left(V\right)-{\dim }_K\left(U\right)$

   und

   ${\dim }_K\left(F^{\perp }\right)={\dim }_K\left(V\right)-{\dim }_K\left(F\right).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen