Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Zu Untervektorräumen ${}F\subseteq F'\subseteq {V}^{*}$ ist

   ${}F^{\perp }\supseteq F'^{\perp }\,.$

3. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\left(U^{\perp }\right)^{\perp }=U\,$

   und

   ${}\left(F^{\perp }\right)^{\perp }=F\,.$

4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,$

   und

   ${}\dim _{K}{\left(F^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(F\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen