(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion
-

ist auch klar. Sei
,
.
Dann kann man eine
Basis
von
zu einer Basis
von
ergänzen. Die Linearform
verschwindet auf
und gehört daher zu
. Wegen
-

ist
.
(4). Es sei
eine Basis von
und es sei
-
die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist
-

Wenn die Abbildung
nicht surjektiv wäre, so wäre
ein echter Untervektorraum von
und hätte maximal die Dimension
. Es sei
ein
-dimensionaler Untervektorraum mit
-

Nach
Fakt
gibt es eine von
verschiedene
Linearform
-
deren Kern genau
ist. Sei
.
Dann ist
-

was der linearen Unabhängigkeit der
widerspricht. Also ist
surjektiv ist und die Aussage folgt aus
Fakt.