Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion

U \subseteq {(U^{⊥})}^{⊥}

ist auch klar. Sei $v \in V$ , $v \in̸ U$ . Dann kann man eine Basis $u_{1}, \dots, u_{r}$ von $U$ zu einer Basis $u_{1}, \dots, u_{r}, v, v_{1}, \dots, v_{ℓ}$ von $V$ ergänzen. Die Linearform $v^{*}$ verschwindet auf $U$ und gehört daher zu $U^{⊥}$ . Wegen

v^{*} (v) = 1 \neq 0

ist $v \notin {(U^{⊥})}^{⊥}$ .

Die Inklusion

F \subseteq {(F^{⊥})}^{⊥}

gilt wieder direkt. Es sei $f \in {(F^{⊥})}^{⊥}$ , also

F^{⊥} \subseteq kern f .

Es sei $f_{1}, \dots, f_{m}$ ein Erzeugendensystem von $F$ . Nach Aufgabe gilt, dass $f$ eine Linearkombination der $f_{i}$ ist, also $f \in F$ .

(4). Wir beweisen zuerst den zweiten Teil. Es sei $f_{1}, \dots, f_{r}$ eine Basis von $F$ und es sei

φ : V ⟶ K^{r}

die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist

F^{⊥} = kern φ .

Wenn die Abbildung $φ$ nicht surjektiv wäre, so wäre $bild φ$ ein echter Untervektorraum von $K^{r}$ und hätte maximal die Dimension $r - 1$ . Es sei $W$ ein $(r - 1)$ -dimensionaler Untervektorraum mit

bild φ \subseteq W \subseteq K^{r} .

Nach Fakt gibt es eine von $0$ verschiedene Linearform

g : K^{r} ⟶ K,

deren Kern genau $W$ ist. Sei $g = \sum_{i = 1}^{r} a_{i} p_{i}$ , wobei $p_{i}$ die $i$ -te Projektion bezeichnet. Dann ist

\sum_{i = 1}^{r} a_{i} f_{i} = g \circ φ = 0,

was der linearen Unabhängigkeit der $f_{i}$ widerspricht. Also ist $φ$ surjektiv ist und die Aussage folgt aus Fakt.

Der erste Teil folgt, indem man $U = {(U^{⊥})}^{⊥}$ verwendet und den zweiten Teil auf $F = U^{⊥}$ anwendet.

Zur bewiesenen Aussage