Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion

ist auch klar. Sei , . Dann kann man eine Basis von zu einer Basis von ergänzen. Die Linearform verschwindet auf und gehört daher zu . Wegen

ist .

(4). Es sei eine Basis von und es sei

die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist

Wenn die Abbildung nicht surjektiv wäre, so wäre ein echter Untervektorraum von und hätte maximal die Dimension . Es sei ein -dimensionaler Untervektorraum mit

Nach Fakt gibt es eine von verschiedene Linearform

deren Kern genau ist. Sei . Dann ist

was der linearen Unabhängigkeit der widerspricht. Also ist surjektiv ist und die Aussage folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage