Vektorfeld/1/Nullstellenfrei und injektive Lösungen/Aufgabe/Lösung

a) Es sei angenommen, dass es eine nicht injektive Lösungskurve

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt. Dann gibt es Punkte ${}a,b\in I$, ${}a<b$ mit ${}y(a)=y(b)$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}y'(c)=0\,.$

Dies ist ein Widerspruch zu

${}y'(c)=f(c,y(c))\neq 0\,.$

b) Die Hinrichtung folgt aus Teil a). Es sei nun

${}f(t,y)=h(y)\,$

nicht nullstellenfrei. Dann gibt es ein ${}y_{0}$ mit ${}h(y_{0})=0$. Für die konstante Funktion

${}y(t):=y_{0}\,$

gilt

${}y'(t)=0=h(y_{0})=f(t,y_{0})=f(t,y(t))\,$

für alle ${}t\in \mathbb {R}$, sodass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt. Diese konstante Lösung ist nicht injektiv.

c) Wir betrachten die Differentialgleichung

${}y'=t^{2}\,$

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

${}f(t,y)=g(t)=t^{2}\,.$

Bei ${}t=0$

liegen Nullstellen vor. Die Lösungen sind die Stammfunktionen zu ${}t^{2}$, also ${}{\frac {1}{3}}t^{3}+c$. Da dritte Wurzeln im Reellen eindeutig sind, handelt es sich um injektive Funktionen.

Zur gelösten Aufgabe