Vektorfeld/1/Nullstellenfrei und injektive Lösungen/Aufgabe/Lösung

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a) Es sei angenommen, dass es eine nicht injektive Lösungskurve

gibt. Dann gibt es Punkte , mit . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein mit

Dies ist ein Widerspruch zu

b) Die Hinrichtung folgt aus Teil a). Sei nun

nicht nullstellenfrei. Dann gibt es ein mit . Für die konstante Funktion

gilt

für alle , so dass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt. Diese konstante Lösung ist nicht injektiv.

c) Wir betrachten die Differentialgleichung

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

Bei

liegen Nullstellen vor. Die Lösungen sind die Stammfunktionen zu , also . Da dritte Wurzeln im Reellen eindeutig sind, handelt es sich um injektive Funktionen.