Vektorfeld/1/Nullstellenfrei und injektive Lösungen/Aufgabe

a) Es sei

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. ${}f(t,y)\neq 0$ für alle ${}(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

injektiv ist.

b) Es sei ${}f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass ${}f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen