Vektorräume/Duale Abbildung/Gesamtzuordnung/Linearität/Aufgabe/Lösung

Es seien $\phi ,\psi \in {\mathrm{Hom}}_K(V,W)$. Wir müssen

$(\phi +\psi {)}^{\ast }={\phi }^{\ast }+{\psi }^{\ast }$

in ${\mathrm{Hom}}_K(W^{\ast },V^{\ast })$ zeigen. Es sei dazu $f\in W^{\ast }$. Dann ist wegen der Distributivität von linearen Abbildungen

$\begin{array}{cc}(\phi +\psi {)}^{\ast }(f)& =f\circ (\phi +\psi )\\ & =f\circ \phi +f\circ \psi \\ & ={\phi }^{\ast }(f)+{\psi }^{\ast }(f)\\ & =({\phi }^{\ast }+{\psi }^{\ast })(f).\end{array}$

Für einen Skalar $s\in K$ ist ferner

$(s\phi {)}^{\ast }(f)=f\circ (s\phi )=s(f\circ \phi )=s((\phi {)}^{\ast }(f)).$

Zur gelösten Aufgabe