Vektorräume/Unterräume im K^123/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Man kann sich einfach einen Überblick über die Untervektorräume des ${}K^{n}$ verschaffen, als Dimension von Untervektorräumen kommt nach Fakt nur ${}k$ mit ${}0\leq k\leq n$ in Frage. Bei ${}n=0$ gibt es nur den Nullraum selbst, bei ${}n=1$ gibt es den Nullraum und ${}K$ selbst. Bei ${}n=2$ gibt es den Nullraum, die gesamte Ebene ${}K^{2}$, und die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt. Jede solche Gerade ${}G$ hat die Gestalt

${}G=Kv={\left\{sv\mid s\in K\right\}}\,$

mit einem von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v$. Zwei von ${}0$ verschiedene Vektoren definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn sie linear abhängig sind. Bei ${}n=3$ gibt es den Nullraum, den Gesamtraum ${}K^{3}$, die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt und die zweidimensionalen Ebenen durch den Nullpunkt.