Vektorraum/Basis/Indexzerlegung/Direkte Summenzerlegung/Beispiel

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ . Es sei

{1, \dots, n} = I_{1} ⊎ \dots ⊎ I_{k}

eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge. Es seien

U_{j} = ⟨ v_{i}, i \in I_{j} ⟩

die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume. Dann ist

V = U_{1} \oplus \dots \oplus U_{k} .

Der Extremfall $I_{j} = {j}$ ergibt die direkte Summe

V = K v_{1} \oplus \dots \oplus K v_{n}

mit eindimensionalen Untervektorräumen.