Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen
und den Vektor als
schreiben. Es sei nun beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung an. Es sei
eine Darstellung der Null. Dann ist
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere und wegen ergibt sich . Deshalb ist und daher gilt
für alle .