Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über $k$, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei  $k=0$  ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für $k$ schon bewiesen und seien $k+1$ linear unabhängige Vektoren

$u_1,\dots ,u_k,u_{k+1}$

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die

(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren

$u_1,\dots ,u_k$

gibt es eine Teilmenge  $J=\{i_1,i_2,\dots ,i_k\}\subseteq \{1,\dots ,n\}$  derart, dass die Familie

$u_1,\dots ,u_k,b_i,i\in I\setminus J,$

eine Basis von $V$ ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man

$u_{k+1}=\sum _{j=1}^k{c}_j{u}_j+\sum _{i\in I\setminus J}{d}_i{b}_i$

schreiben.  Wären hierbei alle Koeffizienten  $d_i=0$,   so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der $u_j$, $j=1,\dots ,k+1$. Es gibt also ein  $i\in I\setminus J$  mit  $d_i\ne 0$.  Wir setzen  $i_{k+1}:=i$.  Damit ist  $J^{\prime }=\{i_1,i_2,\dots ,i_k,i_{k+1}\}$  eine $(k+1)$-elementige Teilmenge von $\{1,\dots ,n\}$. Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor $b_{i_{k+1}}$ durch $u_{k+1}$ ersetzen und erhält die neue Basis

$u_1,\dots ,u_k,u_{k+1},b_i,i\in I\setminus J^{\prime }.$

  Der Zusatz folgt sofort, da eine $k$-elementige Teilmenge einer $n$-elementigen Menge vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage