Wir führen Induktion über
, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei
ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für
schon bewiesen und seien
linear unabhängige Vektoren
-
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die
(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren
-
gibt es eine Teilmenge
derart, dass die Familie
-
eine Basis von
ist. Wir wollen auf diese Basis
das Austauschlemma
anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man
-
![{\displaystyle {}u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u_{j}+\sum _{i\in I\setminus J}d_{i}b_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d461892004099b4a3006ffe3c2fb15b170dee937)
schreiben.
Wären hierbei alle Koeffizienten
, so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der
,
.
Es gibt also ein
mit
. Wir setzen
. Damit ist
eine
-elementige Teilmenge von
. Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor
durch
ersetzen und erhält die neue Basis
-
Der Zusatz folgt sofort, da eine
![{\displaystyle {}k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c9fdad86d9ba226a50ec2643c0ffdeca0633e9)
-elementige Teilmenge einer
![{\displaystyle {}n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f1551c84124ced21a5db61d4add476ed93e589)
-elementigen Menge vorliegt.