Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen einen Ringschluss durch. $(1) \Rightarrow (2)$ . Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir $v_{1}$ , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also $v_{2}, \dots, v_{n}$ kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere $v_{1}$ als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

v_{1} = \sum_{i = 2}^{n} s_{i} v_{i} .

Dann ist aber

v_{1} - \sum_{i = 2}^{n} s_{i} v_{i} = 0

eine nichttriviale Darstellung der $0$ , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. $(2) \Rightarrow (3)$ . Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt. Angenommen, es gibt für ein $u \in V$ eine mehrfache Darstellung, d.h.

u = \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} v_{i},

wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei $s_{1} \neq t_{1}$ . Dann erhält man die Beziehung

(s_{1} - t_{1}) v_{1} = \sum_{i = 2}^{n} (t_{i} - s_{i}) v_{i}

Wegen $s_{1} - t_{1} \neq 0$ kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von $v_{1}$ durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe ist auch die Familie ohne $v_{1}$ ein Erzeugendensystem von $V$ , im Widerspruch zur Minimalität. $(3) \Rightarrow (4)$ . Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor $u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung

u = \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i}

und daher ist

0 = u - \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i}

eine nichttriviale Darstellung der $0$ , sodass die verlängerte Familie $u, v_{1}, \dots, v_{n}$ nicht linear unabhängig ist. $(4) \Rightarrow (1)$ . Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu $u \in V$ . Nach Voraussetzung ist die Familie $u, v_{1}, \dots, v_{n}$ nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung

0 = s u + \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i} .

Dabei ist $s \neq 0$ , da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der $0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ wäre. Daher können wir

u = - \sum_{i = 1}^{n} \frac{s_{i}}{s} v_{i}

schreiben, sodass eine Darstellung von

u

möglich ist.

Zur gelösten Aufgabe