Vektorraum/Direkt/Definition

Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

$+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

und

$\cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.$

Dann nennt man ${}V$ einen ${}K$-Vektorraum (oder einen Vektorraum über ${}K$), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig)

1. ${}u+v=v+u$,
2. ${}(u+v)+w=u+(v+w)$,
3. ${}v+0=v$,
4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$,
5. ${}1\cdot u=u$,
6. ${}r(su)=(rs)u$,
7. ${}r(u+v)=ru+rv$,
8. ${}(r+s)u=ru+su$.