Vektorraum/Direkt/Definition

Vektorraum

Es sei $K$ ein Körper und $V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element  $0\in V$  und mit zwei Abbildungen

$+:V\times V⟶V,(u,v)⟼u+v,$

und

$\cdot :K\times V⟶V,(s,v)⟼sv=s\cdot v.$

Dann nennt man $V$ einen $K$-Vektorraum (oder einen Vektorraum über $K$), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig)

1.  $u+v=v+u$, 
2.  $(u+v)+w=u+(v+w)$, 
3.  $v+0=v$, 
4. Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit  $v+z=0$, 
5.  $1\cdot u=u$, 
6.  $r(su)=(rs)u$, 
7.  $r(u+v)=ru+rv$, 
8.  $(r+s)u=ru+su$.