Vektorraum/Direkt/Definition

Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element  ${}0\in V$  und mit zwei Abbildungen

$+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

und

$\cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.$

Dann nennt man ${}V$ einen ${}K$-Vektorraum (oder einen Vektorraum über ${}K$), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig)

1.  ${}u+v=v+u$, 
2.  ${}(u+v)+w=u+(v+w)$, 
3.  ${}v+0=v$, 
4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit  ${}v+z=0$, 
5.  ${}1\cdot u=u$, 
6.  ${}r(su)=(rs)u$, 
7.  ${}r(u+v)=ru+rv$, 
8.  ${}(r+s)u=ru+su$.