Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien  $𝔟=b_1,\dots ,b_n$  und  $𝔲=u_1,\dots ,u_k$  zwei Basen von $V$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis $𝔟$ und die linear unabhängige Familie $𝔲$ ergibt sich  $k\le n$.  Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt  $n\le k$,  also insgesamt  $n=k$. 

Zur bewiesenen Aussage