Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt/Beweis

Beweis

Wir nehmen zunächst an, dass ${}V$ und ${}W$ isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

existiert.

Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von ${}W$. Aufgrund der Surjektivität von ${}\varphi$ existieren Elemente ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ mit ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$.

Es sei ${}a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}=0$ eine Darstellung der 0. Dann ist

${}{\begin{aligned}0&=\varphi (0)\\&=\varphi (a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})\\&=a_{1}\varphi (v_{1})+\cdots +a_{n}\varphi (v_{n})\\&=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{n}w_{n};\end{aligned}}$

weil ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind und wegen Fakt  (4) ist die Dimension von ${}V$ damit mindestens so hoch wie die von ${}W$. Mithilfe der Umkehrabbildung zu ${}\varphi$ können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von ${}W$ mindestens so hoch ist, wie die von ${}V$. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.

Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ von ${}W$ gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$ bzw. ${}\psi (w_{i})=v_{i}$ gemäß Fakt lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind ${}V$ und ${}W$ isomorph.

Zur bewiesenen Aussage