Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Es ist ${}0^{\perp }=V$ und ${}V^{\perp }=0$.
3. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}{\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$

4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,.$

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