Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

{}w=v-\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,,

es ist nach Fakt lediglich zu zeigen, dass ${}w$ orthogonal zu den ${}v_{j}$ ist. Dies ergibt sich direkt aus

{}{\begin{aligned}\left\langle w,v_{j}\right\rangle &=\left\langle v-\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i},v_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v,v_{j}\right\rangle -\sum _{i\in E}\left\langle \left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i},v_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v,v_{j}\right\rangle -\left\langle v,v_{j}\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}