Vektorraum/fixierter Endomorphismus/Polynomring/Modulstruktur/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen für $V$ über $K[X]$ die Eigenschaften eines Moduls nachweisen. Die additive kommutative Gruppe ist die selbe wie im $K$-Vektorraum $V$.

Es seien nun $P=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i,Q=\sum _{j=0}^n{b}_j{X}^j\in K[X]$ und $u,v\in V$. Die gewünschte Eigenschaften der Skalarmultiplikation zeigen sich wie folgt:

1. $P(Qu)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(\sum _{j=0}^n{b}_j{\phi }^j(u))=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j{\phi }^{i+j}(u)=(PQ)(u)$,
2. $P(u+v)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(u+v)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(u)+\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(v)=(Pu)+(Pv)$,
3. $(P+Q)u=\sum _{i=0}^n(a_i+b_i){\phi }^i(u)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(u)+\sum _{i=0}^n{b}_i{\phi }^i(u)=(Pu)+(Qu)$,
4. $1u=1{\phi }^0(u)=\mathrm{Id}(u)=u$.

Zur bewiesenen Aussage