Vektorraum/fixierter Endomorphismus/Polynomring/Modulstruktur/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen für ${}V$ über ${}K[X]$ die Eigenschaften eines Moduls nachweisen. Die additive kommutative Gruppe ist die selbe wie im ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Es seien nun ${}P=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}X^{i}},Q=\sum _{j=0}^{n}{b_{j}X^{j}}\in K[X]$ und ${}u,v\in V$. Die gewünschte Eigenschaften der Skalarmultiplikation zeigen sich wie folgt:

1. ${}P(Qu)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\varphi ^{i}\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\varphi ^{j}(u)\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\varphi ^{i+j}(u)=(PQ)(u)$,
2. ${}P(u+v)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\varphi ^{i}(u+v)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\varphi ^{i}(u)+\sum _{i=0}^{n}a_{i}\varphi ^{i}(v)=(Pu)+(Pv)$,
3. ${}(P+Q)u=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})\varphi ^{i}(u)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\varphi ^{i}(u)+\sum _{i=0}^{n}b_{i}\varphi ^{i}(u)=(Pu)+(Qu)$,
4. ${}1u=1\varphi ^{0}(u)=\operatorname {Id} (u)=u$.

Zur bewiesenen Aussage