Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

${}\psi ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,$

und

${}\theta ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,,$

wobei ${}{\mathrm {i} }$ hier jeweils als Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$ zu verstehen ist. Offenbar ist ${}\varphi =\psi +\theta$, die ${}\mathbb {R}$-Linearität der beiden Abbildungen ist ebenfalls klar. Die Linearität bzw. Antilinearität ist nur noch für die skalare Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$ nachzuweisen. Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}\psi ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&={\mathrm {i} }\psi (v)\end{aligned}}$

und andererseits

${}{\begin{aligned}\theta ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&=-{\mathrm {i} }\theta (v).\end{aligned}}$

Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei ${}\varphi =\psi +\theta =\psi '+\theta '$. Dann ist

${}\psi -\psi '=\theta -\theta '\,$

sowohl ${}{\mathbb {C} }$-linear als auch ${}{\mathbb {C} }$-antilinear, also nach Aufgabe die Nullabbildung.

Zur bewiesenen Aussage